MATEMÁTICAS: Propiedades de las Desigualdades

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR "CENTRAL TÉCNICO"

INS

Tema: Propiedades de las Desigualdades.

Alumno: Carranza Zambrano Jackson.

Docente: Ing. Julio Calvopiña Herrera, MSc.

Año Lectivo: 2014 - 2015.

Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los números reales. Están cercanamente relacionadas a las propiedades de igualdad, pero hay diferencias importantes.

Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Propiedad antireflexiva	Para todos los números reales x,
Propiedad de antisimetría	Para todos los números reales x y y,
Propiedad transitiva	Para todos los números reales x, y, y z, si x < y y y < z, entonces x <z. si x > y y y > z, entonces x >z.
Propiedad de la suma	Para todos los números reales x, y, y z, si x < y, entonces x + z < y + z.
Propiedad de la resta	Para todos los números reales x, y, y z, si x < y, entonces x – z < y – z.
Propiedad de la multipicación	Para todos los números reales x, y, y z, si x < y, entonces si x > y, entonces
Propiedad de la división	Para todos los números reales x, y, y z, con z ≠ 0, si x < y, entonces si x > y, entonces

Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos de desigualdad son:

≠    no es igual
<     menor que
>    mayor que
≤    menor o igual que
≥    mayor o igual que

De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber:

1º Todo número positivo es mayor que cero

Ejemplo:

5 > 0 ; porque 5 – 0 = 5

2º Todo número negativo es menor que cero

Ejemplo:

–9 < 0 ; porque –9 –0 = –9

3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20

Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.

Por ejemplo:

x + 3 < 7

(La punta del signo < siempre señala el menor)

Ejemplos: 3 < 4, 4 > 3

¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las propiedades de las desigualdades.

Propiedades de las desigualdades

1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:

a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)

a ± c < b ± c

Ejemplo

               2 + x > 16          / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
           2 + x − 2 > 16 − 2
                     x > 14

2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo:

           a < b            / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
       a • c < b • c
             a > b          / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
        a • c > b • c

Ejemplo

3 ≤ 5 • x / :5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5

3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo:

        a < b              / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c > b • c
        a > b             / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
    a • c < b • c

Ejemplo

                15 – 3 • x ≥ 39                 / −15
                     − 3 • x ≥ 39 – 15           /: −3
                            x ≤ 24: (−3)
                            x ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.

De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber desigualdades con incógnita negativa.